Che cosa accade quando i numeri primi vengono codificati nelle ampiezze di un registro e successivamente trasformati mediante una Quantum Fourier Transform? L’esperimento presentato in questo articolo applica la QFT all’indicatrice dei numeri primi su un registro di 28 qubit, corrispondente a 268.435.456 stati, conservando e analizzando non soltanto l’intensità dei coefficienti trasformati, ma anche la loro fase complessa.
Dalla sequenza dei numeri primi allo spettro complesso
I numeri primi non formano una sequenza periodica semplice. La loro distribuzione è irregolare, ma non completamente priva di struttura: presenta vincoli aritmetici, classi residue, simmetrie e correlazioni che possono emergere quando la sequenza viene osservata in un dominio trasformato.
L’esperimento parte dalla funzione indicatrice dei numeri primi:
f(x) = 1 se x è primo; f(x) = 0 negli altri casi.
Ogni indice del registro rappresenta un intero compreso fra 0 e 2 28 − 1. Alle posizioni corrispondenti ai numeri primi viene assegnata un’ampiezza reale uguale a uno; alle altre posizioni viene assegnata ampiezza nulla.
Questa codifica non costituisce ancora il Prime state normalizzato della letteratura, perché la somma delle intensità è uguale al numero dei primi contenuti nell’intervallo, e non a uno. È più precisamente l’indicatrice non normalizzata dei numeri primi rappresentata come vettore di ampiezze.
Sotto 2 28 si trovano:
π(2 28 ) = 14.630.843 numeri primi.
Il registro contiene invece complessivamente:
N = 2 28 = 268.435.456 stati.
La trasformata quantistica di Fourier
La Quantum Fourier Transform converte il vettore iniziale in un nuovo insieme di coefficienti complessi. Con la normalizzazione unitaria adottata dalla libreria, ogni coefficiente può essere scritto nella forma:
A k = (1 / √N) Σ p primo, p<N exp(2πipk / N).
Ogni numero primo contribuisce quindi al coefficiente A k attraverso un vettore complesso dotato di modulo e angolo. I diversi contributi possono sommarsi costruttivamente, cancellarsi parzialmente oppure produrre una risultante intermedia.
Dal coefficiente complesso si ricavano due grandezze distinte:
Intensità: I k = |A k | 2
Fase: φ k = atan2(Im(A k ), Re(A k )).
L’intensità misura il peso del coefficiente trasformato. La fase ne descrive invece l’orientamento nel piano complesso. Due coefficienti possono avere la stessa intensità e fasi completamente differenti.
Lo spettro d’intensità a 28 qubit
Il primo risultato è lo spettro dell’intensità relativa. Poiché i coefficienti più deboli sarebbero quasi invisibili su una scala lineare, il grafico utilizza una rappresentazione in decibel:
I dB (k) = 10 log 10 (I k / I max ).
Il massimo dello spettro è posto a 0 dB, mentre i coefficienti più deboli vengono rappresentati fino al fondo scala di −100 dB. Questa scelta permette di osservare contemporaneamente i picchi dominanti e una parte consistente della struttura secondaria.
Il picco principale si trova all’indice zero. Questo coefficiente rappresenta la componente continua della sequenza ed è direttamente legato al numero complessivo dei primi:
A 0 = π(N) / √N.
Per N = 2 28 :
A 0 = 14.630.843 / 16.384 ≈ 892,9957886.
La sua intensità teorica è:
I 0 ≈ 797.441,478411.
Il risultato numerico registrato dal programma è 797.441,478411, in accordo con il valore teorico entro la precisione del calcolo in virgola mobile.
Il picco centrale e la parità dei numeri primi
Un secondo picco strutturale compare all’indice N/2. In quel punto il fattore complesso della trasformata diventa:
exp(iπp) = (−1) p .
Poiché tutti i numeri primi eccetto 2 sono dispari, quasi tutti i termini contribuiscono con segno negativo. Il coefficiente teorico non normalizzato della somma è quindi:
F(N/2) = 2 − π(N).
Dopo la normalizzazione della QFT:
A N/2 = (2 − π(N)) / √N ≈ −892,995666503906.
L’intensità è quasi uguale a quella della componente continua, ma la fase è opposta: il coefficiente è reale negativo e possiede fase pari a 180 gradi. Questo mostra già perché l’intensità, da sola, non descrive completamente il risultato.
La fase globale dei coefficienti dominanti
Un vettore di 268.435.456 coefficienti non può essere rappresentato integralmente in un grafico editoriale senza una riduzione dei dati. Il dominio è stato quindi suddiviso in 4096 intervalli contigui, ciascuno contenente circa 65.536 coefficienti.
Per ogni intervallo è stato selezionato il coefficiente con intensità massima sopra la soglia numerica. Il punto mostra la sua fase, mentre dimensione e opacità sono pesate logaritmicamente in funzione dell’intensità.
I punti non vengono collegati con una linea: i coefficienti selezionati appartengono a intervalli differenti e non sono necessariamente consecutivi. Una polilinea suggerirebbe quindi una continuità che i dati non dimostrano.
Il grafico non rappresenta quindi la fase di tutti i coefficienti, ma una sintesi dei coefficienti localmente dominanti. La distribuzione verticale compresa fra −180 e +180 gradi mostra che la trasformata conserva una struttura angolare complessa che non può essere ricostruita osservando soltanto |A k | 2 .
Fase avvolta: il limite fra −180 e +180 gradi
La fase calcolata mediante
atan2
viene normalmente rappresentata
nell’intervallo:
−180° ≤ φ ≤ +180°.
Questa rappresentazione è detta wrapped , cioè avvolta. Quando una fase supera +180 gradi viene riportata nella regione negativa; analogamente, quando scende sotto −180 gradi ricompare nella regione positiva.
Nel grafico seguente vengono mostrati 256 coefficienti consecutivi, corrispondenti agli indici da 641 a 896. L’intervallo è stato scelto perché contiene sette attraversamenti del limite angolare.
I salti verticali non indicano necessariamente discontinuità fisiche o aritmetiche della trasformata. Sono in parte prodotti dalla scelta di rappresentare un angolo modulo 360 gradi.
Disavvolgimento della fase: eliminare i salti modulari
Per distinguere i salti convenzionali dall’evoluzione locale della fase è possibile applicare il phase unwrapping . L’algoritmo confronta coefficienti consecutivi e, quando rileva un salto superiore a 180 gradi, aggiunge o sottrae 360 gradi.
Per esempio, una transizione:
+170° → −170°
può essere reinterpretata localmente come:
+170° → +190°.
Il phase unwrapping non produce una nuova grandezza indipendente e non deve essere confuso con un’osservabile fisica aggiuntiva. È uno strumento numerico che rende leggibile la continuità locale nascosta dalla rappresentazione angolare modulo 360 gradi.
Perché la fase deve essere filtrata secondo l’intensità
La fase non è numericamente affidabile quando il modulo del coefficiente è prossimo a zero. Se parte reale e parte immaginaria sono entrambe molto piccole, variazioni minime dovute alla precisione floating-point possono produrre grandi variazioni dell’angolo.
Per evitare di interpretare come struttura una fase numericamente instabile, l’esperimento applica una soglia relativa:
I k ≥ 10 −10 I max .
Con l’intensità massima osservata, la soglia assoluta risultante è circa:
7,9744 × 10 −5 .
Su 268.435.456 coefficienti complessivi:
- 267.629.866 coefficienti superano la soglia;
- 805.590 coefficienti vengono esclusi dall’analisi della fase.
L’esclusione non modifica lo spettro d’intensità, che continua a essere calcolato su tutti i coefficienti; serve esclusivamente a evitare che fasi numericamente instabili entrino nella rappresentazione angolare.
Verifica della simmetria coniugata
L’ingresso iniziale è interamente reale. La trasformata deve quindi rispettare la simmetria coniugata:
A N−k = A k * .
Di conseguenza:
|A N−k | 2 = |A k | 2 ,
φ N−k ≡ −φ k mod 360°.
La verifica numerica condotta sui 268.435.456 coefficienti ha restituito:
| Parametro | Valore |
|---|---|
| Errore assoluto massimo | 7,963 × 10 −13 |
| Errore quadratico medio | 4,908 × 10 −16 |
| Errore relativo massimo | 9,374 × 10 −12 |
Gli errori sono estremamente piccoli rispetto alle grandezze principali dello spettro e confermano la coerenza della trasformazione, dell’indicizzazione e della rappresentazione complessa.
Prestazioni della simulazione
Il calcolo è stato eseguito in doppia precisione (float64) mediante una simulazione classica full-state della QFT nella libreria PFFT. Non si tratta quindi di un’esecuzione su una QPU reale: tutti i coefficienti complessi vengono conservati esplicitamente nella memoria del computer.
La sola esecuzione della QFT ha richiesto:
24,72 secondi.
Il test è stato eseguito in ambiente Fedora virtualizzato, utilizzando otto thread OpenMP e precisione float64.
Il tempo complessivo osservato, comprendendo generazione dei primi, inizializzazione, trasformazione, scansione dei coefficienti, verifica della simmetria e produzione degli output, è stato dell’ordine di alcuni minuti.
La distinzione è importante: il tempo della QFT misura il nucleo della trasformazione, mentre il tempo totale comprende anche operazioni di analisi e scrittura che attraversano centinaia di milioni di elementi.
Che cosa è già noto e che cosa analizza questo esperimento
La rappresentazione quantistica dei numeri primi non nasce con questo esperimento. La letteratura ha già definito il Prime state , una sovrapposizione normalizzata degli stati corrispondenti ai numeri primi, e ha studiato l’applicazione della QFT per ricavare informazioni sulla funzione di conteggio dei primi e sui bias della loro distribuzione nelle progressioni aritmetiche.
I lavori precedenti si concentrano prevalentemente sullo spettro di probabilità:
P(k) = |A k | 2 .
La fase è necessariamente presente nelle somme esponenziali complesse e determina le interferenze che producono i picchi, ma generalmente non viene presentata come oggetto grafico autonomo.
Il contributo specifico di questo esperimento consiste quindi nella simulazione full-state a 28 qubit dell’indicatrice dei numeri primi mediante la libreria PFFT e nell’analisi esplicita di:
- spettro d’intensità in decibel;
- fase globale dei coefficienti dominanti;
- fase wrapped su coefficienti consecutivi;
- phase unwrapping dello stesso intervallo;
- soglia numerica di significatività della fase;
- simmetria coniugata dell’intera trasformata.
La fase non è un’aggiunta decorativa
La fase non rappresenta un colore arbitrariamente applicato allo spettro. È una componente matematica fondamentale di ogni coefficiente complesso. Durante la trasformazione, sono proprio le relazioni di fase fra i contributi associati ai diversi numeri primi a produrre interferenza costruttiva e distruttiva.
Il modulo quadrato conserva il risultato quantitativo di questa interferenza, ma perde l’orientamento finale del coefficiente. Per esempio, due coefficienti opposti:
A e −A
hanno la stessa intensità ma fasi separate da 180 gradi. Uno spettro basato esclusivamente su |A| 2 non può distinguerli.
Intensità e fase descrivono quindi aspetti complementari della stessa trasformazione:
- l’intensità indica quanto pesa un coefficiente;
- la fase indica come quel coefficiente è orientato nel piano complesso.
Limiti e significato del risultato
L’esperimento non dimostra che sia stato scoperto un nuovo algoritmo per generare i numeri primi e non costituisce un vantaggio quantistico rispetto a una FFT classica ottimizzata.
La QFT viene simulata classicamente gate per gate, conservando l’intero vettore di stato. Questa scelta ha però un valore metodologico preciso: permette di osservare direttamente tutti i coefficienti complessi, comprese le fasi che una semplice misura nella base computazionale su hardware quantistico non restituirebbe integralmente.
Il grafico globale è inoltre una riduzione max-bin e non una visualizzazione di ogni singolo coefficiente. Il phase unwrapping è uno strumento di lettura locale, non una nuova osservabile. Queste precisazioni delimitano il risultato senza diminuirne il valore computazionale.
Conclusione
Applicare la QFT all’indicatrice dei numeri primi significa trasformare una distribuzione aritmetica discreta in uno spettro complesso nel quale modulo e fase assumono ruoli distinti ma inseparabili.
Su 28 qubit, l’esperimento ha elaborato 268.435.456 stati e oltre 14,6 milioni di posizioni prime, verificando con elevata precisione i picchi teorici principali e la simmetria coniugata della trasformata.
Lo spettro d’intensità mostra dove la trasformata concentra il proprio peso. La fase mostra invece l’orientamento complesso di quella struttura e rende visibile una componente che il solo modulo quadrato non può ricostruire.
In questa prospettiva, la fase non è un elemento accessorio: è la geometria interna dell’interferenza. L’intensità mostra ciò che rimane della somma; la fase conserva la direzione secondo cui quella somma si è costruita.